Định lí Fecma lớn thách thức các nhà Toán học gần 4 thế kỷ.

Sau những thành tựu trên, Viên Hàn lâm khoa học Pháp treo nhiều giải thưởng trong đấy có 3000Fr cho nhà Toán học nào tìm ra lời giải của định lý Ferma vĩ đại. Ngày 01-03-1847, Viện Hàn lâm có cuộc họp đầy kịch tính. Ở đây, Lame tuyên bố ông trên con đường hoàn thành lời giải định lý Ferma. Ông công nhận hiện thời lời chứng minh chưa được hoàn thiện và trình bày trước cử tọa một số điểm cơ bản của phương pháp chứng minh. Lame vừa dứt lời thì Côsi (Augustin Louis Cauchi), nhà toán học thành Balê, lại tiến lên diễn đàn. Côsi thông báo với cử toạ ông cũng nguyên cứu định lý Ferma nhiều năm rồi, và cũng từ những con đường giống như của Lame, ông cũng dự định đăng lời giải hoàn chỉnh định lý Ferma trong thời gian tới. Tháng tư năm đó, cả hai đã đăng một số chi tiết về lời giải của mình, nhưng chưa phải là lời giải hoàn chỉnh. Cuộc đua chưa đến hồi phân giải thì ngày 24-05, có một tuyên bố chấm dứt mọi bàn cãi. Đến diễn đàn của Viện Hàn lâm lần này không phải Lame cũng không phải Côsi mà là Liuvil (Joseph Liouville). Ông đọc bức thư của nhà toán học Đức Kummer (Ernst Eduard Kummer) và cả cử toạ của Viện Hàn lâm Pháp đã chết lặng đi khi nghe Kummer vạch ra những sai lầm khủng khiếp của hai nhà toán học Pháp. Cử toạ càng xót xa khi Kummer, bằng lý luận của mình, đã chỉ ra không có một phương pháp đang tồn tại lúc bấy giờ có thể cho phép một cách tổng quát chứng minh định lý Ferma. Nhưng nếu dùng những phương pháp này và thêm những mẹo toán tinh vi, thì cũng có thể chứng minh được cho trường hợp cụ thể nào đó thôi. Ông còn cho rằng lời giải của định lý Ferma nằm ngoài giới hạn của những kiến thức toán học có lúc bấy giờ. Lý luận logic chặt chẽ của ông là một đòn kinh hoàng giáng vào cả một thế hệ các nhà Toán học, những ai nuôi mộng giành lấy vòng nguyệt quế "chứng minh thành công định lý Ferma vĩ đại". Sau những công trình của Kummer, nhiệt huyết tìm lời giải bị nguội lạnh đi hơn bao giờ hết. Song le, trong toán học lại có thêm nhiều lĩnh vực mới. Đầu thế kỷ 20, tuy định lý Ferma vẫn chiếm một địa vị quan trọng trong tim của các nhà toán học, nhưng họ hay xem nó như một ước mơ lãng mạn của quá khứ. Mãi đến năm 1908, công nghiệp gia người Đức Paul Volphơxkel (Paul Volfskehl) thổi một làn sinh khí mới cho vấn đề "định lý Ferma". Câu chuyện bắt đầu từ lúc ông ta rất yêu một bà, nhưng bà ta lại từ chối tình yêu đó. Ông chán nản đến mức đã quyết định ngày giờ để quyên sinh. Thời gian đến lúc đấy, ông dùng để thu xếp công việc. Ngày cuối cùng, ông viết di chúc và thư từ cho bạn bè. Sau đó, ông thư giản bằng cách đọc các tạp chí Toán học. Bổng nhiên bài viết của Kummer đập vào mắt ông. Ông liền đọc say sưa và mơ hồ đâu đó ông cảm giác tìm ra lổ hổng trong lý luận của Kummer. Kummer đã dùng một khẳng định mà không chứng minh nó. Thế là, nhà toán học bất đắc dĩ liền nhảy vào cuộc với hy vọng hoặc chứng minh khẳng định của Kummer đúng hoặc chứng minh khẳng định của Kummer không đúng (toàn phần hoặc một phần). Trong thâm tâm, ông rất muốn tìm ra điểm sai của Kummer, và như thế định lý Ferma lại có cơ hội được chứng minh bằng những phương pháp đơn giản. Đến sáng, ông hoàn thành xong tính toán của mình. Thật trớ trêu, những tính toán của ông một lần nữa khẳng định Kummer đúng. Nhưng cũng vì mãi mê mà ông nhận ra giờ định quyên sinh đã qua từ lâu. Ông cảm thấy tự tin hơn bao giờ hết vì đã phát hiện và lấp đầy lổ hổng của nhà số học lừng danh Kummer. Định lý Ferma đã trả lại cho ông niềm tin yêu cuộc sống. Ông viết lại di chúc, trong đó một phần lớn gia tài 100000DM (khoảng 1500000 đô la Mỹ bây giờ) được giao cho Viện khoa học hoàng gia Gớt-ting-hen để trao giải cho ai chứng minh được định lý Ferma. Chỉ vài tuần sau khi treo giải, Viện đã nhận hàng trăm "chứng minh", dĩ nhiên là sai. Đến nỗi, chủ nhiệm khoa toán trường Đại học tổng hợp Gớt- ting-hen, giáo sư Lan đâu (Edmund Landau)-người chịu trách nhiệm kiểm tra những lời giải- đã phải cho in hàng trăm tấm thiếp báo như sau: ------------------------------------------------------ ------ ------------------------------------------------ ------- Kính gởi ông/bà ............................. Rất cảm ơn ông bà đã gởi lời giải định lý Ferma. Sai lầm đầu tiên ở trang..... dòng ..... Vì vậy lời giải không có trọng lượng. Giáo sư E. Lanđâu ------------------------------ -Sau chiến tranh thế giới thứ hai, một nhóm các nhà lập trình và các nhà toán học đã chứng minh định lý Ferma đúng với n=500, sau đó n=1000 và cuối cùng với n=10000. Những năm 80 của thế kỷ 20, Sêmiuel S. Oagstaph (Samuel S. Wagstaff) từ trường Đại học tổng hợp Pourdou chứng minh định lý đúng đến n=25000. Và vào đầu thập kỷ 90, các nhà toán học chứng minh được định lý đúng đến n=4000000.
Nhưng tất cả những công trình này đều mang tính trang điểm bề mặt. Chúng như những nét chấm phá, những nét son để tô điểm cho huyền thoại "định lý Ferma" càng lung linh hơn mà thôi. Dù có thể chứng minh định lý đúng tới n lớn bao nhiêu chăng nữa, cũng không thể khẳng định định lý Ferma đúng với mọi trường hợp. Phải nói thế kỷ 20 là thế kỷ đánh dấu những tiến bộ vượt bậc của Toán học. Hàng loạt những lĩnh vực Toán học khác ra đời như: toán tin, lôgích học, ngành nguyên cứu những đường Ellip cho ra khái niệm dãy E, ngành nghiên cứu đối xứng (ngành này có từ thế kỷ 19 dùng phục vụ cho nghiên cứu cấu trúc phân tử, nhưng những nghiên cứu về hình thể modul thì mới xuất hiện ở thế kỷ 20) cho ra khái niệm hình thể modul và dãy M.... Những lĩnh vực khoa học đã vượt ra ngoài tầm kiến thức của Kummer, và hiển nhiên lý luận "hạn chế trong việc chứng minh định lý Ferma" của ông không còn mang tính thời đại nữa. Biết đâu những phương pháp toán học mới sẽ mở một ngưỡng cửa để chúng ta tiếp cận đến lời giải hoàn chỉnh định lý Ferma. Một trong những ngành nở rộ trong thế kỷ 20 và là cầu nối đến lời giải định lý Ferma là lĩnh vực nghiên cứu những đường cong Ellip. Gọi là những đường Ellip dễ gây cho chúng ta lầm lẫn. Trên thực tế, đó là dạng đường có phương trình: y^2=x^3+ax^2+bx+c, a,b,c là những số nguyên (hoặc hữu tỷ). Dạng phương trình này được gọi phương trình khối (bậc ba). Vấn đề của phương trình này giống như định lý Ferma là tìm những nghiệm nguyên dương của nó. Vào thập kỷ 30 thế kỷ 17, Ferma đã chứng minh được số 26 là số duy nhất nằm giữa 25-số chính phương và 27-số lập phương. Phương trình được viết dưới dạng: y^2=x^3-2 với a=b=0, c=-2. Chứng minh phương trình trên chỉ có một nghiệm (3,5) là việc làm rất khó. Và nghiên cứu những phương trình dạng trên không phải ai ai cũng có khả năng. Hiện thời vẫn còn nhiều vấn đề chưa được giải quyết. Vẫn chưa có một con đường hoàn hảo tổng quát để tìm nghiệm nguyên của loại phương trình trên. Nhưng các nhà toán học vẫn không chùn bước. Những bước đầu tiên người ta làm là đặt vấn đề một cách khác: liệu phương trình có thể có bao nhiêu nghiệm? Để từng bước đơn giản hoá bài toán người ta đặt ra khái niệm "nghiệm của modul". Ví dụ phương trình sau: x^3-x^2=y^2+y hầu như không có khả năng giải trực tiếp. Có thể dễ nhận biết (0,0), (1,0) đều là nghiệm của phương trình. Nhưng tìm tất cả các nghiệm là điều không đơn giản. Người ta lập ra bảng nghiệm theo modul. Gọi Ei là tổng nghiệm cũa phương trình theo modul i. Trong trường hợp giải phương trình theo modul 5, ta có các nghiệm (0,0), (0,4), (1,0), (1,4) (dĩ nhiên có những nghiệm đúng trên modul, nhưng không đúng trên thực tế. Ví dụ như (0,4) cho ra 0- 0=16+4=20. Ở trường hợp modul, người ta ngụ ý vế bên trái và bên phải đều có số dư bằng nhau khi chia cho 5). Vậy đối với phương trình trên ta có dãy E như sau: Dãy E: E1=1, E2=4, E3=4, E4=8, E5=4, E6=16, E7=9, E8=16, ...... Khi chúng ta không còn cách nào để tìm nghiệm phương trình thì dãy E cung cấp cho ta những thông tin chỉ có phương trình Ellip đấy có mà thôi. Nói cách khác dãy E là ADN của đường cong Ellip, giống như mỗi người có một ADN riêng biệt và khác nhau vậy. Người ta hy vọng từ dãy E có thể tính toán được nhiều thông tin toán học lý thú cho đường cong Ellip nào đó. Thật bất ngờ, khi phương Tây đang nghiên cứu nhiều về đường cong Ellip thì ở Nhật Bản xảy ra nhiều sự kiện cho thấy một mối ràng buộc vô hình giữa dãy E và một dãy khác-dãy hình thể modul- thuộc lĩnh vực hoàn toàn khác trong toán học-lĩnh vực nghiên cứu đối xứng. Và càng không ngờ mối ràng buộc này lại là điểm then chốt để chứng minh định lý Ferma. Hình thể modul là một trong những đối tượng nguyên cứu tuyệt vời và kỳ diệu của Toán học. Nhà chuyên gia về số học Âykhlê (M. Eichler) cho rằng phép biến đổi trong hình thể modul là phép tính cơ bản thứ năm. Nó cũng quan trọng không kém gì những phép cộng, trừ, nhân, chia. Điểm đặc thù của những hình thể modul là tính đối xứng cao của chúng. Để giải thích tính đối xứng cao của hình thể modul, chúng ta hãy xét đến những hình quen thuộc hơn. Ví dụ chúng ta hãy so sánh một hình vuông và một hình những ô vuông như lưới B40. Hình vuông có đối xứng qua tâm, đối xứng qua gương và đối xứng quay n*pi/2. Nhưng hình vuông không có đối xứng tịnh tiến. Nghĩa là nếu đặt hình vuông vào hệ toạ độ nhất định, hình vuông qua tịnh tiến sẽ không như nó (trong mối quan hệ với hệ toạ độ đó). Lưới vuông có hết những đặc điểm đối xứng như hình vuông và đối xứng tịnh tiến. Rất tiếc, dù có vẽ cũng không thể tưởng tượng bằng trực giác ra một hình thể modul hoàn chỉnh được. Chúng ta sống trong không gian ba chiều, chúng ta hiểu và nhận thức sự vật theo ba trục không gian x,y,z. Bởi vậy chúng ta khó hình dung ra một hình thể modul. Có những hình thể modul được biểu diễn như một hàm số mà vùng xác định là hai chiều và vùng kết quả cũng hai chiều.
Như vậy đồ thị của hàm số này nằm trong không gian bốn chiều. Một đặc thù nữa của hình thể modul là có thể đưa vào một cơ cấu đặc biệt để biến vùng xác định thành không gian Hyperbol. Những hình thể modul xuất hiện trong nhiều bộ mặt khác nhau. Mỗi hình thể được biểu diễn thành tổng vô hạn của những số cộng có dạng đặc biệt. Những số cộng này làm cho hình thể modul khác nhau. Hay nói cách khác, mỗi dãy vô hạn này biểu trưng cho mỗi hình thể modul nhất định và nó đóng vai trò ADN của một hình thể modul. Người ta hay gọi những dãy này là những dãy M. Chỉ cần biến đổi một thành phần trong dãy này co thể biến hình thể modul thành hình thể modul khác, hoặc thành hình thể khác ít đối xứng hơn, hoặc thành hình thể không đối xứng chút nào. Tháng 9 năm 1955, ở Tokio có diễn ra hội nghị toán học thế giới. Lần đầu tiên, mối quan hệ giữa hình thể modul và đường cong Ellip được Taniyama (Yutaka Taniyama) công bố. Ông đã tính toán một số thành phần đầu tiên dãy M của một vài hình thể modul và cho biết những thành phần này hoàn toàn trùng với những thành phần của những dãy E của các đường cong Ellip thông thường lúc bấy giờ. Cả thế giới sửng sốt trước phát kiến này, nhưng phần lớn các nhà toán học đều nghi ngờ và coi đó là điều không quan trọng lắm. Ngay trong hội nghị, Taniyama cũng đã tính toán vài thành phần tiếp theo của một vài dãy M và cho cử toạ thấy chúng tiếp tục bằng những thành phần của dãy E tương ứng. Nhưng mọi người đều cho đấy là những trùng lặp ngẫu nhiên. Thật không thể tưởng tượng được hai lĩnh vực toán hoàn toàn khác nhau như đường cong Ellip và hình thể modul có thể có mối quan hệ nào đó, dù là mơ hồ chớ đừng nói là khắng khít. Duy chỉ có một người là tin tưởng vào tư tưởng của Taniyama, đó là Simura (Goro Shimura). Simura bắt đầu cùng Taniyama phác hoạ nên một giả thuyết-giả thuyết Taniyama- Simura: "bất kỳ đường cong Ellip nào cũng có một hình thể modul tương ứng và ngược lại.". Từ đó, hai nhà toán học Nhật Bản bắt tay vào việc chứng minh giả thuyết của mình, hoặc ít nhất kiểm nghiệm từng trường hợp riêng rẽ với hy vọng tìm ra một phản ví dụ nào đó. Càng kiểm chứng một trường hợp riêng rẽ nào đó, thì họ càng tin vào giả thuyết của họ là có căn cứ. Đến nỗi, có một giáo sư hỏi Simura (khi đó Taniyama đã chết vào tuổi 31): " Tôi nghe, Ông giả định rằng, có một vài đường cong Ellip nào đó có thể có mối liên quan đến những hình thể modul?". Simura trả lời: " Thế là ông không hiểu, không đơn giản là một vài mà là tất cả, hay là mỗi đường cong Ellip đều có mối liên quan đến hình thể modul nào đó.". Andrê Uâyl (André Weil), một trong những chuyên gia về lý thuyết số lừng danh của thế kỷ 20, đã chấp nhận giả thuyết Taniyama-Simura. Ông phân tích một cách kỹ lưỡng giả thuyết và lại phát hiện thêm những cơ sở toán học có lợi cho giả thuyết. Vì thế, người ta cũng thường gọi giả thuyết là giả thuyết Taniyama-Simura-Uâyl. Sau những phân tích của Uâyl, giới số học không còn coi giả thuyết là trò giải trí vô bổ, là những trùng lặp ngẫu nhiên nữa. Họ bắt đầu suy nghĩ một cách nghiêm túc vấn đề này. Phải nói giả thuyết Taniyama-Simura là một mảnh đất màu mỡ cho các nhà toán học khai thác không ngừng. Thập kỷ 60, các nhà toán học hầu như chỉ làm mỗi một việc là kiểm tra giả thuyết Taniyama-Simura. Người ta lấy một đường cong Ellip nào đó, tính dãy E, sau đó lại tìm hình thể modul có dãy M như thế. Mặc dù càng tìm nhiều bằng chứng thì giả thuyết càng thuyết phục, nhưng tất cả những bằng chứng đó đều không thể gọi là lời giải của giả thuyết. Giả thuyết vẫn là giả thuyết!!! Chưa chứng minh được giả thuyết Taniyama-Simura mà người ta đã nghĩ ra bao nhiêu ứng dụng của nó. Nếu như giả thuyết Taniyama-Simura đúng, thì định lý sẽ mở ra cho các nhà toán học những ngưỡng cửa mới, những phương pháp mạnh hơn để giải quyết vấn đề đường cong Ellip nói riêng và những vấn đề toán học hóc búa khác nói chung. Ngoài ra, cũng giống như vật lý người ta vẫn tin vào sự đồng nhất các dạng năng lượng, việc chứng minh được giả thuyết cũng làm cho ta hy vọng còn có nhiều cầu nối khác giữa những lĩnh vực toán học với nhau. Đi xa hơn nữa, Lenglends (Robert Langlands) còn cho và tin tưởng tuyệt đối rằng, giả thuyết Taniyama-Simura chỉ là một trong những mắc xích trong một hệ thống hoàn hảo. Đối với ông tất cả lĩnh vực của toán học đều liên quan và liên kết với nhau, việc của chúng ta là đi tìm những mắc xích nối đó. Sau nhiều năm miệt mài, Lenglends đã thu lượm được một số kết quả và ông cũng đưa ra một vài giả thuyết. Mặc dù những giả thuyết đó mỏng manh và táo bạo, thậm chí liều lĩnh, nhưng Lenglends ước vọng một khi từng giả thuyết được chứng minh thì dần dần xuất hiện một Nữ hoàng Toán học thống nhất vĩ đại. Điều này rất hấp dẫn bởi vì nếu có một vấn đề gì khó trong lãnh vực này, thì người ta có thể chuyển hoá vấn đề đó sang một vấn đề khác tương ứng ở lĩnh vực khác. Mà ở đây, để giải quyết vấn đề có rất nhiều phương pháp mạnh hơn nhiều.
Nhưng tất cả điều đó không hơn không kém là một ước mơ lãng mạn, một viễn cảnh xa vời. Bởi vì, chưa một ai có thể tưởng tượng ra chứng minh những giả thuyết của Lenglends như thế nào. Có thể nói những bước đầu tiên của "con đường đến thiên đường" là chứng minh cho được giả thuyết Taniyama-Simura. Lúc bấy giờ, người ta chưa nghĩ ra được một vấn đề đẹp gần như là thần thánh như giả thuyết Taniyama-Simura lại liên quan chặt chẽ đến một vấn đề thánh thiện không kém, đó là "định lý Ferma". Cho đến một ngày ..... Mùa thu năm 1984, có một hội thảo của các nhà số học tại một thành phố nhỏ Obervolphach tại Đức. Những người tham dự thảo luận về những thành tựu trong lĩnh vực đường cong Ellip.----------------------------- ------------------------------------------------ ------------------------------ Nhà toán học xứ Caarbriukên Gerhard Frây (Gerhard Frey) đã đưa ra một khẳng định tuyệt vời. Bước lên diễn đàn, ông viết ngay định lý Ferma: x^n+y^n=z^n, và lý luận: nếu định lý Ferma sai thì ta có thể có ít nhất một nghiệm A, B, C sao cho: A^n+B^n=C^n Sau một hồi biến đổi, Frây nhận được đường Ellip sau: y^2=x^3+(A^n-B^n)x^2-A^nB^n, và ông kết luận: nếu đường cong giả định, dựa vào nghiệm giả định trên tồn tại thì giả thuyết Taniyama-Simura sụp đổ hoàn toàn. Vậy nếu chứng minh được giả thuyết Taniyama-Simura, ta cũng chứng minh được không tồn tại đường cong trên, suy ra định lý Ferma hoàn toàn đúng. Phát kiến này của Frây đã gây ấn tượng mạnh cho cử toạ. Lần đầu tiên sau mấy trăm năm đã thấy le lói ánh sáng cuối con đường hầm. Thế nhưng, trong lý luận của Frây có một lổ hổng nhỏ, tất cả mọi người đều nhận thấy trừ Frây. Lập luận của Frây dựa trên cơ sở "đường Ellip viết trên rất lạ lùng đến mức nó không thể tương ứng được với hình thể modul nào cả", nhưng ông không chứng minh nó lạ lùng ra sao mà có thể kết luận như thế. Mỗi người tham dự hội nghị vội vàng copy một bản lập luận của Frây với hy vọng mình là người đầu tiên lấp đầy lổ hổng của Frây. Cuộc đua lại bắt đầu. Một trong những người tham gia cuộc đua tìm mối liên hệ của giả thuyết Taniyama-Simura với định lý Ferma là giáo sư trường Đại học tổng hợp Caliphornia tại Bercơlây Ken Ribet (Ken Ribet). Mùa hè 1986, khi giáo sư Barry Mazur (Barry Mazur)-bạn Ribet đến Bercơlây tham dự hội nghị toán học thế giới, hai người bạn vừa uống cà phê ở Bar vừa kể cho nhau nghe công trình của mình. Ribet trình bày với bạn hướng giải quyết vấn đề "mối quan hệ T-F" và than vãn ông chỉ thu được rất ít kết quả. Giáo sư Mazur đang nhấp cà phê nghe Ribet nói bỗng nhiên lặng đi, nhìn Ribet một cách ngờ vực. Sau thấy vẻ mặt chân tình của bạn, ông bảo: "Chẳng lẽ anh không thấy sao?! Anh đã chứng minh hết những điều cần phải làm... Chỉ cần thêm Gamma-none của cấu trúc M, và chứng minh lại từ đầu anh sẽ nhận điều mình cần.". Thế là, mối quan hệ thần thánh của giả thuyết Taniyama-Simura và định lý Ferma đã được chứng minh. Tin tức truyền nhanh như vũ bão. Frây và Ribet đã đưa vấn đề "định lý Ferma" quay lại ngôi vị tối thượng của nó trong cuộc sống của các nhà toán học. Vào một ngày cuối hạ 1986, có một người bạn kể cho Uailes (Andrew Wiles) nghe chuyện Ken Ribet đã chứng minh thành công mối quan hệ giữa giả thuyết Taniyama-Simura và định lý Ferma. Uailes- giáo sư toán trường Đại học tổng hợp Prinstone- là chuyên gia có hạng về những đường cong Ellip. Thủa nhỏ, ông thường ấp ủ hy vọng chứng minh được định lý Ferma. Nhưng khi nghiên cứu công trình của Kummer- Volphơxkel ông biết mình sẽ không làm được gì với giới hạn toán học bây giờ. Và ông đã chọn ngành đường cong Ellip là ngành có những vấn đề giống như định lý Ferma để có cơ hội tiếp cận những phương pháp mới với hy vọng một ngày kia sẽ có một phương pháp đủ mạnh để giải quyết vấn đề. Khi nghe bạn kể về Ribet, Uailes đã quyết tâm chứng minh cho bằng được định lý Ferma thông qua việc chứng minh giả thuyết Taniyama-Simura. Quan trọng hơn, trong đầu ông đã hình thành một phương hướng đi tuyệt diệu. Đó là xây dựng cho bằng được chuỗi lập luận qui nạp, trong đó chỉ ra mỗi đường trong hằng hà vô số những đường Ellip có thể tương ứng với một hình thể modul nào đó trong hằng hà sa số những hình thể modul. Để làm được điều đó, phải làm sao thiết lập trật tự nhất định của các đường cong Ellip và các hình thể modul. Sau đó chứng minh ADN của đường cong Ellip (dãy E) thứ nhất tương ứng với ADN của hình thể modul (dãy M) thứ nhất. Tiếp tục giả sử ta chứng minh được mối tương ứng giữa dãy E thứ k và dãy M thứ k thì ta cũng chứng minh được mối tương ứng giữa dãy E thứ k+1 và dãy M thứ k+1. Bằng lý thuyết Group của Galoa, Uailes đã chứng minh được bước đầu tiên, bước chứng minh dãy E1 tương ứng với dãy M1. Uailes đang chuẩn bị bước vào giai đoạn hai thì, ngày 8 tháng 3 năm 1988, trên trang đầu của các báo lớn trên thế giới (trong đó có Bưu điện Oasingtơn và Thời báo Nữu ước) đăng một tít với hàng chữ to: " Định lý Ferma vĩ đại đã được chứng minh". Và người đoạt được vòng nguyệt quế là Tiến sĩ Yoichi Miyaoka từ trường Đại học tổng hợp Metropoliten ở Tôkiô. Phát biểu ở hội thảo tại Bonn, Miyaoka cho biết hướng đi của ông bắt đầu từ lĩnh vực hình học giải tích.

Những năm 70 của thế kỷ 20, nhà toán học người Nga S. Arakelov cố tìm cầu nối giữa hình học giải tích và lý thuyết số (đây là một trong những giả thuyết của Lenglends). Và mọi người hy vọng những vấn đề chưa được giải quyết của lý thuyết số sẽ được giải quyết bằng các phương pháp của hình học giải tích. Nhưng rất tiếc, lời giải của Miyaoka có dùng những khẳng định trái ngược với những kết quả nhận được của nhiều năm cách đây. Và sau hội nghị Bonn hai tháng, các nhà toán học đồng thanh kết luận lời giải Miyaoka sai hoàn toàn và không phương cứu vãn. Uailes thở dài nhẹ nhõm, ông có thể tiếp tục những ý tưởng, những công việc yêu thích của mình. Để bước vào giai đoạn hai, ông dùng lý thuyết Ioasaoa (Kenkichi Iwasawa). Nhưng đến mùa hè 1991, ông bắt buộc chấp nhận thất bại: lý thuyết Ioasaoa không thể giải quyết được vấn đề. Đúng lúc đó, người thầy hướng dẫn khoa học trước đây của Uailes, giáo sư Giôn Kauts (John Henry Coates) cho biết: có một nghiên cứu sinh Mathius Phlach (Matthius Flach) có viết bài nghiên cứu đường Ellip rất hay, dựa trên phương pháp Kolưvaghin. Kolưvaghin đã xây dựng nên phương pháp toán học rất mạnh dùng nghiên cứu những đường cong Ellip sau đấy được phát triển bởi Phlach (phương pháp được mang tên Kolưvaghin-Flach). Nhưng cả hai đều không nghĩ đến một ngày kia có người sử dụng phương pháp của mình để giải một vấn đề hóc búa nhất trong lịch sử toán học. Uailes quyết định hoàn thiện phương pháp Kolưvaghin-Phlach để dùng cho việc chứng minh định lý Ferma. Cuối cùng, sau sáu năm làm việc cật lực, những kết quả nhận được cho phép Uailes tin tưởng vào thắng lợi cận kề. Đầu tháng Giêng 1993, ông nhờ người bạn-giáo sư Nik Kats (Nicholas Katz)- kiểm tra lại toàn bộ lời giải. Họ tổ chức những tiết giảng cho nghiên cứu sinh về đường cong Ellip (họ không đề cập gì đến định lý Ferma, trên thực tế những tiết giảng của Uailes là nhằm vào Kats, để Kats từng bước kiểm tra tính đúng đắn lời giải của Uailes). Từng bước, từng bước Uailes áp dụng phương pháp Kolưvaghin- Phlach thành công cho cho các nhóm đường cong khác nhau. Và Katz cũng thống nhất là phương pháp Kolưvaghin-Phlach thực hiện công việc một cách tuyệt vời. Họ đồng ý với nhau: đã đến lúc công bố kết quả. Tháng 6 năm 1993, tại Kembrigiơ ở Viện Ixaak Niutơn (Isaac Newton) diễn ra hội nghị của các nhà số học với chủ đề "L-Function và Số học". Tại đây, Uailes đọc thuyết trình với chủ đề "Hình thể modul, đường cong Ellip và lý thuyết Galoa". Thuyết trình đã đưa cử toạ dần dần sáng tỏ: cuối cùng giả thuyết Taniyama-Simura và thông qua đó định lý Ferma đã được chứng minh. Cuối diễn văn của mình, Uailes viết lên bảng định lý Ferma, quay về cử toạ và nói một câu nổi tiếng: "Tôi nghĩ, tôi phải dừng tại đây". Hơn hai trăm nhà toán học lặng đi vài giây, sau đó đồng loạt đứng lên vỗ tay hoan hô... Sau đó, Uailes gởi lời giải đến tạp chí "Inventiones Mathematical". Trưởng ban biên tập toà soạn Barry Mazur bắt đầu tìm người kiểm chứng. Trong lời giải, Uailes dùng rất nhiều phương pháp khác nhau, cả sơ cấp lẫn cao cấp, cả hiện đại lẫn cổ điển, nên ban biên tập không chọn 2, 3 người kiểm chứng như trước đây, mà chọn đến 6 người. Bản thảo được chia thành 6 phần, mỗi người nhận một phần và chịu trách nhiệm về phần đó. Nik Kats nhận kiểm chứng phần 3. Đến tháng 8-1993, Kats phát hiện một điểm sai trong lời giải. Trong lời giải của Uailes, ông nghĩ ông có thể hoàn thiện phương pháp Kolưvaghin-Phlach đến mức có thể sử dụng nó cho tất cả những đường cong Ellip trong chuỗi quy nạp của ông. Trên thực tế, không phải như vậy. Phương pháp Kolưvaghin-Phlach dùng được kèm theo một số điều kiện, và có những nhóm đường cong Ellip không thể sử dụng phương pháp Kolưvaghin-Phlach dù có hoàn thiện cách nào đi chăng nữa. Chẳng lẽ, một lần nữa định lý Ferma lại thoát khỏi tầm tay của các nhà toán học. Chẳng lẽ sự kiện năm 1988 của Miyaoka lặp lại lần nữa với sự kiện 1993 của Uailes. Nhiều người tin là như thế, nhưng Uailes thì không, ông tin rằng ông sẽ có cách sửa chữa sai lầm. Sai lầm tưởng nhỏ, nhưng hơn một năm trời, Uailes không thể nào tìm ra hướng giải quyết. Nhiều khi ông nghĩ đầu hàng trước những khó khăn. Nhưng Piter Xarnak (Peter Sarnak) cho rằng khó khăn của ông còn do sự làm việc trong cô đơn của ông. Uailes không có người để tâm sự, để trao đổi hoặc để lãnh hội và phát triển những ý tưởng của ông. Xarnak khuyên Uailes nên tìm người cộng tác. Uailes liền mời Richard Tailor (Richard Taylor), một nhà khoa học của Đại học tổng hợp Kembrigiơ đến Prinstone cùng cộng tác trong cuộc chiến với lổ hổng của lời giải. Đến tháng 8 năm 1994, họ vẫn chưa tiến được một bước nào. Đến nỗi Uailes đã chấp nhận thất bại và nói với Uailes không còn một ý nghĩa gì để tiếp tục công việc. Nhưng Tailor khuyên ông nên tiếp tục thêm một tháng nữa. Nếu đến cuối tháng 9 vẫn chưa có dấu hiệu khả quan nào, họ sẽ tuyên bố thất bại trước công chúng và đăng những kết quả đã có để người khác có thể dùng trong những trường hợp khác. Ngày 19 tháng 9 năm 1994, Uailes phát hiện ra một ý tưởng cực kỳ táo bạo: tuy phương pháp Kolưvaghin-Phlach không dùng được cho nhóm đường cong này, nhưng nó có tất cả những thứ cần thiết để áp dụng lý thuyết
Ioasaoa, lý thuyết mà ngay từ đầu ông đã dùng mà không phát huy tác dụng. Cả hai-lý thuyết Ioasaoa và phương pháp Kolưvaghin- đứng riêng lẻ không đủ khả năng giải quyết vấn đề. Nhưng hợp chúng lại, chúng bổ sung cho nhau một cách lý tưởng. Cuối cùng, Uailes đã sửa chữa lỗi lầm của mình một cách hoàn hảo. Đến nỗi các đồng nghiệp của ông ở Đại học tổng hợp Prinstone không thể tìm ra một lỗi nào nữa. Công cuộc chứng minh của định lý Ferma đã đến hồi kết thúc! Lần này, hai bài viết gồm 130 trang được kiểm tra một cách kỹ lưỡng hơn bao giờ hết trong lịch sử toán học bởi những nhà số học nổi tiếng. Và cuối cùng lời chứng minh được đăng tải trên tạp chí "Annals of Mathematics" vào tháng 5 năm 1995. Đây cũng là ngày mà Định lý Ferma được công nhận chính thức. Bức rèm sắt "Định lý Ferma vĩ đại" đã được hạ xuống sau 358 năm đóng im ỉm. Năm 1996, Uailes cùng với Lenglends nhận giải thưởng Vôlphơ (không phải giải Vôlphôxkel) 100000 đô la. Việc chứng minh thành công định lý Ferma (cũng có nghĩa định lý Taniyama-Simura) đã mang đến cho các nhà toán học nói riêng và các nhà khoa học nói chung sự tự tin. Bây giờ, họ sẽ không ngần ngại bắt tay vào những công việc tưởng chừng như không làm nổi, kể cả những giả thuyết táo bạo của Lenglends. Sưu tầm: Phạm Văn Quý